1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12 : Réalité ou délire mathématique ?

3 mars 2014

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12 : Réalité ou délire mathématique ?

feuille-Somme bleuQui disait que les mathématiciens sont des gens anormaux par définition ? Ah ! Je me souviens. C’est Jean Pierre Goux, un ingénieur et chercheur en maths appliquées, lors de son passage sur RFI il y a quelques années. C’est une caricature, évidemment. Il a certainement voulu dire que les mathématiciens cherchent parfois à pousser les limites de notre compréhension, à tel point qu’ils contredisent le bon sens commun. Certains finissent par perdre la raison. Le journaliste scientifique Laurent Lemire nous en fait découvrir quelques uns dans son ouvrage Les savants fous.

 

Moi j’ai failli devenir un peu fou ce week-end quand j’ai découvert sur la chaîne Youtube Numberphile un résultat des plus étonnants. Il s’agit de la valeur de la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … ainsi de suite, la somme de tous les nombres entiers quoi. A votre avis, quel est le résultat de ce calcul ?

 

Eh bien, pas besoin d’avoir le Bac pour répondre que c’est « l’infini ».  Logiquement, plus le nombre de terme augmente, plus la somme devient de plus en plus grande. Si on continue jusqu’à l’infini on trouve l’infini, c’est évidement. Et pourtant, les mathématiciens ont prouvé que cette gigantesque somme vaut -1/12. Quoi ? Un si petit nombre ?  Négatif de surcroit ?  Ce n’est pas sérieux ! C’est absurde !  C’est du délire ! Comment une somme infinie peut-elle donner un nombre fini ? Comment une somme de termes positifs peut-elle aboutir à un résultat négatif ? Il est clair qu’il s’agit là d’un parfait canular. Nonnn mon ami ! C’est du sérieux. Selon les mathématiciens, cette somme équivaut bien à -1/12.  J’ai passé tout mon week-end à chercher un  sens à tout cela. Et, quelques articles plus tard, j’ai trouvé que ce résultat, d’apparence absurde, est même utilisé en physique théorique, notamment en mécanique quantique. Incroyable !

 

Qu’en est-il des preuves ?

 

J’ai vu qu’il y a plusieurs  méthodes de calcul qui permettent de retrouver ce résultat. Et, ce ne sont pas des blagues de mathématiciens du genre  »démontrer que 1=2’’ alors qu’une division par zéro, est malicieusement dissimulée quelque part. Ce sont des calculs sérieux de haut niveau qui font appel aux séries numériques, plus précisément aux séries divergentes. Je les avais apprises en 2e année de fac mais j’ai presque tout oublié. Et puis, c’est très compliqué à expliquer. Je ne vais donc pas m’aventurer sur ce terrain. Mais, pour les descendants d’Einstein qui souhaitent approfondir la question, il faut revoir la méthode de sommation de Cesaro, la méthode d’Abel, la méthode de Ramanujan et la régularisation par la fonction Zeta.

 

La fonction Zéta
La fonction Zéta

 

Et pour les autres, si vous avez fait les bancs jusqu’au collège au moins (niveau 4e), je peux vous expliquer la démonstration dont il est question dans la vidéo de Numberphile. Rassurez-vous, c’est hyper simple. Elle se fait en 3 étapes :

 

Considérons d’abord la somme
A= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …

 

Vous pouvez aisément remarquer que le résultat de cette somme donne tantôt 0 tantôt 1.  Mais, il est possible de prouver qu’elle est égale à 1/2.

 

En effet, on peut voir que  A = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … = 1– (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …). On remarque que le terme entre parenthèses n’est autre que A lui-même. Ainsi, on a : A = 1– A.

On résout l’équation pour tirer A. On obtient 2A = 1 d’où A = 1/2.

 

 

Considérons ensuite la somme
B = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …

 

Même principe, on place une petite parenthèse et cela donne B = 1 – (2 – 3 + 4 – 5 + 6 – …). On décompose le terme entre parenthèse en deux entités et on obtient alors :

B = 1 – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …) – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …). On remarque ici dans la première parenthèse le terme B et dans la seconde le terme A. En remplaçant, on obtient :

B = 1 – B – A. Or A vaut 1/2. Donc B = 1 – B ½, ce qui donne 2B = 1- ½ = ½ d’où B= ¼.

 

Considérons enfin notre gigantesque somme
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

 

On essaie de retrancher B de la somme S. On a :

 S – B = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …) – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …) Si on fait le calcul, on se rend compte que les nombres impairs s’annulent et les nombres pairs sont doublés. Ainsi, on a : S – B = 4 +  8 + 12 + … On factorise par 4 et on a :

S – B = 4 (1 + 2 + 3 + …)  et on retrouve la somme S entre parenthèses. Ce qui donne :

S – B = 4 S.  On résout l’équation pour tirer S :

On a 4S – S = -B  donc  3S  =  -B. Or, il on a déjà vu que B= ¼.  Donc 3S = -1/4 et finalement, S = – 1/12.  Et voilà ! CQFD.

 

Attention tout de même ! Cette preuve n’est pas si rigoureuse qu’elle n’en a l’air. Il n’y pas de problème apparent dans le raisonnement mais cette méthode de sommation n’est pas permise pour des sommes infinies. Cependant, elle permet de retrouver simplement notre résultat qui, je le rappelle, peut être prouvé de façon rigoureuse par les méthodes que j’ai évoqué plus haut.

 

Je disais donc que ce résultat étonnant est utilisé en physique théorique. Il s’agit notamment de l’effet Casimir qui parle de la force d’attraction entre deux plaques parallèles conductrices placées dans le vide. Pour calculer cette force on utilise 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …= – 1/12.  Et cela marche puisqu’elle est prouvée expérimentalement. L’autre application de cette bizarrerie c’est dans la théorie des cordes avec l’explication de la dimension critique.

illustration de l'Effet Casimir
illustration de l’Effet Casimir
illustration de la théorie des cordes
illustration de la théorie des cordes

 

 

 

 

 

 

 

 

Cela ne vous étonne pas ? Moi je suis littéralement abasourdi.  Moi qui croyais que c’était si évident. Décidément ! « Évident est le mot le plus dangereux en mathématiques », comme disait Eric Temple Bell.

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Commentaires

Pascaline
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J'ai bloqué ici : En effet, on peut voir que A = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … = 1– (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …)

J'ai vraiment du oublier les cours de math! Le reste j'ai compris! Je vais envoyer ton article à ma mère qui ADORE les maths!!!

BA Arouna
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Merci Pascaline. La règle telle mère telle fille ne s'applique pas pour vous alors.

fathi mohamed amine
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bn raisonnement juste j'ai quelques point à discuter au niveau de la some que vous avez utilisé en A ou en B ou en C, vous avez pris A et B et C comme etant les limites des trois séries, mais premierement avant d'entamer ce resultat fallait tout d'abord montrer que les trois série sont convergeantes, sinn vous ne pouvez pas utiliser A ou B ou C comme etant leurs limites

Smidge
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(désolé, j'ai effacé une ligne par erreur dans mon commentaire précédent, ce qui rend la démonstration difficile à suivre : je la reposte complète)

Toute cette démonstration repose sur l'existence d'un nombre A qui serait la somme des (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 +...

Hélas, la seule chose que prouve cette vidéo, c'est que SI le nombre A existait, alors il vaudrait 0,5. Mais non seulement rien n'est avancé pour prouver son existence, mais en plus, il est tout à fait possible de prouver que A n'existe pas.

Et sans l'existence de A, c'est toute la suite de la démonstration qui est mise à mal, invalidant ainsi le fameux résultat "-1/12".

En voici la preuve (qui utilise principalement la définition usuelle de la limite, telle qu'on peut la trouver dans cet article https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_%28math%C3%A9matiques%29 ).

On définit : U(n) = (-1)^n la suite des +1 ;-1 ; +1 ; -1...
On définit S(n) = somme de 0 à n des U(n)

Commençons par un lemme préliminaire.

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Lemme : la suite S(n) ne prend que les valeurs 1 et 0, alternées, 1 pour les n pairs et 0 pour les n impairs.

Démonstration :

Supposons que pour n>=0, S(n) = 1 si n pair et S(n) = 0 si n impair.

Si n est pair : S(n+1) = S(n) + (-1)^(n+1) = 1 + -1 = 0
Si n est impair : S(n+1) = S(n) = (-1)^(n+1) = 0 + 1 = 1

De plus, S(0) = 1, et S(1) = 0.

Donc par récurrence : pour tout n, S(n) = 1 si n est pair, et S(n) = 0 si n est impair.
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Entamons ensuite la démonstration principale.

Supposons que S(n) converge vers un nombre réel A (hypothèse de départ).

Dans ce cas : qque soit e>0, il existe un N tq pour tout n>N :
| S(n) - A | < e (définition de la limite)

Donc tq : S(n) - e < A 0)

On sait alors qu'il existe un N tel que pour tout n>N,
S(n) - 1/2 < A N tel que S(n0) = 0
Dans ce cas : S(n0) - 1/2 < A -1/2 < A < 1/2

Mais, on a aussi que :
S(n0+1) - 1/2 < A < S(n0+1) + 1/2

Or, S(n0+1) = 1 (puisque S(n0) = 0)

Donc : 1 - 1/2 < A 1/2 < A < 3/2

Ce qui implique que A 1/2

Contradiction.

Par l'absurde, l'hypothèse faite au départ (la série S(n) converge vers un nombre réel A) est fausse, et A n'existe pas.

CQFD.

Thomas
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Il me semble que la première équation est fausse et par conséquent tous le resonnement est faux.

Dans la première équation ce qui est entre parenthèses n'est pas À mais (A-1) et donc l'équation devient

À = 1 - (A-1)

Et donc À = À CQFD

Et donc si on se base sur une hypothèse fausse tout peut être juste.

Un vrai mathématicien
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La démonstration par numberphile reprise ici est totalement fausse, puisqu'il manque la preuve de l'existence de S... Qui ne peut se faire qu'avec la régularisation de la fonction zêta.

venousto
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phi-phi=1